Przyszła na świat w dzień Nowego Roku, stąd otrzymała imię zapisane w kalendarzu pod datą 1 stycznia - Mieczysława.
Pochodziła ze słynnej aktorskiej rodziny Trapszów. Jej dziadek Anastazy, znakomity aktor charakterystyczny i pedagog, miał czworo dzieci, które również zdecydowały się na życie podporządkowane scenie. Najstarszy syn,
Marceli, ożenił się z aktorką Aleksandrą Ficzkowską. Mieczysława była ich pierwszym dzieckiem. Rodzice jednak szczerze pragnęli, aby córka nie zdecydowała się na trudną karierę aktorską. Oddali ją na pensję panny Warnke w Poznaniu. Po ukończeniu szkoły 18-letnia Miecia Trapszówna zgodziła się wyjść za mąż za zakochanego w niej dziennikarza i malarza,
Zygmunta Bartkiewicza. Rzuciła go po dwóch latach, znużona monotonią małżeńskiego życia, które zupełnie nie odpowiadało jej temperamentowi. Zajęła się prowadzeniem butiku w Warszawie, ucząc się równocześnie gry aktorskiej. Wkrótce także ojciec zaczął udzielać jej lekcji.
Ćwiklińska rozpoczęła karierę od występów w farsach i krotochwilach. Odziedziczyła po matce przepiękny sopran, więc grywała też w operetkach i przez pewien czas chciała nawet zostać śpiewaczką operową. W latach 20. na dobre poświęciła się komedii, z którą związała się na resztę życia.
Największymi atutami aktorstwa Ćwiklińskiej były wyrazista i dyskretna mimika oraz znakomity głos, zdolny do oddania wszelkich uczuciowych niuansów. Artystka z wdziękiem i lekkością kreowała śmieszne i bogate psychologicznie postacie. Do historii polskiego teatru przeszły jej interpretacje hrabiny Klary w "Niewiernej", Fiokły w "Ożenku" czy pani Dulskiej. Ukoronowaniem kariery Ćwiklińskiej stała się mistrzowska rola Babki w melodramacie "Drzewa umierają stojąc". Od września 1958 do maja 1971 roku zagrała ją około 1500 razy.
Ćwiklińska pracowała niemal do końca życia, pozostając uosobieniem czaru i dowcipu. W wieku 91 lat wyruszyła na wielkie tournée po USA i Kanadzie. Kiedy pewnego razu usłyszała, że następnego dnia czeka ją występ w Nowym Jorku, westchnęła: "Mój Boże, dopiero co był Nowy Sącz, jutro Nowy Jork. Nie można powiedzieć, żeby obszar naszego objazdu się kurczył".